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Problème du collectionneur

Le problème du collectionneur est un problème de la théorie des probabilités qui modélise le phénomène suivant : un fabricant de tablettes de chocolat propose à ses acheteurs de collectionner des vignettes. Chaque tablette contient une vignette qui représente un animal que l’on découvre à l’ouverture de la tablette. Le nombre d’animaux différents représentés sur les vignettes est égal à $n$ et on suppose que ces animaux sont répartis de façon équiprobable entre les tablettes. Un collectionneur achète des tablettes jusqu’à obtenir l’ensemble de la collection, c’est-à-dire pour chacun des $n$ animaux au moins une vignette le représentant. Combien devra-t-il, en moyenne, faire d'achats pour obtenir la collection complète?

La réponse à ce problème peut être obtenue avec des méthodes assez élémentaires. Si on note $T_n$ la variable aléatoire égale au nombre d'achats à faire pour obtenir les $n$ vignettes, alors $$E(T_n)=n\left(1+\frac 12+\cdots+\frac 1n\right)\sim_{n\to+\infty}n\ln(n).$$

Ce problème semble avoir été étudié pour la première fois par Laplace en 1812. D'apparence anodine, il a pourtant des applications en télécommunication par exemple.

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