Fonction coercive

Soit $C$ une partie non bornée d'un espace vectoriel normé $E$ et $f:C\to\overline{\mathbb R}.$ On dit que $f$ est coercive si $$\lim_{\|x\|\to+\infty,\ x\in C}f(x)=+\infty.$$ Autrement dit, $f$ est coercive si $$\forall A>0,\ \exists M>0,\ \forall x\in C,\ \|x\|\geq M\implies f(x)\geq A.$$ Autrement dit, $f$ est coercive si elle tend vers $+\infty$ en $+\infty$ (lorsque la variable reste dans $C.$)

La notion de coercivité est souvent utilisée pour les formes bilinéaires $a:E\times E\to \mathbb R$. Dans ce cas, on dit que $a$ est coercive s'il existe $\alpha>0$ tel que $$\forall x\in E,\ a(x,x)\geq \alpha \|x\|^2.$$ Ceci est équivalent à dire que la fonction $f$ définie sur $E$ par $f(x)=a(x,x)$ est coercive.