$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Fonction de classe $\mathcal C^1$, $\mathcal C^k$, $\mathcal C^\infty$

Fonction d'une variable réelle

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$. On dit que $f$ est

  • de classe $\mathcal C^1$ si $f$ est dérivable sur $I$, et $f'$ est continue sur $I$.
  • de classe $\mathcal C^k$, où $k\geq 1$ est un entier, si toutes les dérivées de $f$ jusqu'à l'ordre $k$ existent sur $I$, et si $f^{(k)}$ est continu sur $I$.
  • de classe $\mathcal C^\infty$ si $f$ est $\mathcal C^k$ sur $I$ pour tout $k\geq 1$. Autrement dit, si $f$ est indéfiniment dérivable sur $I$.

La plupart des fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, logarithmes, trigonométriques,...) sont $\mathcal C^\infty$ sur leur domaine de définition, mais ce n'est pas le cas de la fonction racine carrée ou de la fonction valeur absolue.

Fonction de plusieurs variables réelles

Soit $f$ une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n.$ On dit que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ si toutes les dérivées partielles de $f$ existent et sont continues sur $U$. En terme de différentielle, on a la caractérisation suivante :

Proposition : Soit $f$ une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n.$ $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $U$ si et seulement si $f$ est différentiable sur $U$ et si l'application $x\mapsto df_x$ est continue.

Plus généralement, on dit que $f$ est de classe $\mathcal C^k$ sur $U$ lorsque toutes les dérivées partielles de $f$ jusqu'à l'ordre $k$ existent et sont continues sur $U.$

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