Matrice circulante

On appelle matrice circulante toute matrice carrée telle que l'on passe d'une ligne à la suivante par décalage à droite des coefficients, de façon circulaire. Une matrice circulante de taille $n$ s'écrit donc $$C=\left(\begin{array}{cccc} a_1&a_2&\dots&a_n\\ a_n&a_1&\dots&a_{n-1}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_2&a_3&\dots&a_{1} \end{array}\right)$$ où $a_1,\dots,a_n$ sont des nombres complexes.

Les matrices circulantes sont toujours diagonalisables sur $\mathbb C$ : si on note $P$ le polynôme $$P(X)=a_1+a_2X+\cdots+a_nX^{n-1}$$ et $\omega=e^{2i\pi/n}$, alors pour $k=0,\dots,n-1,$ les vecteurs $X_k$, définis par $$X_k=\begin{pmatrix} 1\\ \omega^k\\ \omega^{2k}\\ \vdots\\ \omega^{(n-1)k} \end{pmatrix}$$ forment une base de vecteurs propres, la valeur propre associée à $X_k$ étant $P(\omega^k)$.