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Dictionnaire de mathématiques > Arithmétique > Nombres premiers >

Nombres pseudo-premiers et nombres de Carmichael

Rappelons l'énoncé du petit théorème de Fermat :

Théorème : Soit $p$ un nombre premier, et $a$ un entier premier avec $p$. Alors $a^{p-1}\equiv 1\ [p].$

Il est facile, à partir de ce théorème, de fabriquer un test de non-primalité : si un nombre $n$ est donné, on choisit un nombre $a$ premier avec $n$, et on calcule $a^{n-1}$ : si on ne trouve pas $1$ modulo $n$, c'est que $n$ n'est pas premier. Ce test est très rapide, car on calcule $a^{n-1}$ en effectuant au plus $2\log n$ opérations. On procède en effet par élévations au carré successives : si par exemple on veut calculer $3^{12}$, on remarque que $12=2^3+2^2$, d'où $3^{12}=((3^2)^2)^2(3^2)^2$.

Malheureusement, le petit théorème de Fermat n'est pas une condition nécessaire et suffisante, et il existe des entiers $n$ non premiers pour lesquels $a^{n-1}\equiv 1\ [n]$. De tels entiers sont dits pseudopremiers de base $a$. Par exemple,

  • $341=11×31$ est pseudo-premier en base $2$.
  • $91=7×13$ est pseudo-premier en base $3$.

Qu'à cela ne tienne, se dit-on. Si $341$ est pseudo-premier en base $2$, il ne l'est pas en base $3$, et le test avec $3$ dira que $n$ est composé. Malheureusement, cela n'est pas encore suffisant, car il existe des entiers non premiers $n$, mais pseudo-premiers pour toute base $a<n$, où $a$ ne divise pas $n$. Ces nombres sont appelés nombres fortement pseudo-premiers, ou nombres de Carmichael. Les premiers nombres de Carmichael sont : 561, 1105, 1729, 2465, et on sait depuis 1994 qu'il en existe une infinité. Voici une caractérisation des nombres de Carmichael :

Théorème : Un entier $n$ non premier est un nombre de Carmichael si, et seulement si, $n=p_1\times\cdots\times p_k$, où $p_1,\dots,p_k$ sont des nombres premiers deux à deux distincts tels que $(p_i-1)$ divise $(n-1)$ pour tout $i\in\{1,2,...,k\}$.
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