Champ de vecteurs

On appelle champ de vecteurs de $\mathbb R^d$ toute application $f$ définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^d$ et à valeurs dans $\mathbb R^d$. Autrement dit, à tout point de $U$, on associe un vecteur de $\mathbb R^d$. Le champ de vecteurs est dit de classe $\mathcal C^k$ si $f$ est de classe $\mathcal C^k$.

La notion de champ de vecteurs est particulièrement utile lors de l'étude des équations différentielles. Prenons par exemple un champ de vecteurs $f:U\to\mathbb R^2$ de classe $\mathcal C^1$, où $U$ est un ouvert de $\mathbb R^2$. Considérons l'équation différentielle autonome $X'=f(X)$. Les solutions maximales de cette équation sont des arcs paramétrés $X$ définis sur un intervalle $I$ et tels que, pour tout $t\in I$, $X'(t)=f(X(t))$. Ainsi, le vecteur dérivé au point $X(t)$ est donné par le champ de vecteurs en ce point : les courbes intégrales sont donc tangentes en chaque point au champ de vecteurs. Lorsqu'on dessine le champ de vecteurs, on a déjà une bonne idée de comment vont se comporter les courbes intégrales.

Exemple : On considère le système de Lotka-Volterra $$\left\{ \begin{array}{rcl} x'(t)&=&ax(t)-bx(t)y(t)\\ y'(t)&=&-cy(t)+dx(t)y(t) \end{array} \right. $$ qui correspond à un modèle d'évolution de système de type proie/prédateur. Le champ de vecteur est donné par $f(x,y)=(ax-bxy,-cy+dxy)$. On a tracé ci-dessous le champ de vecteurs pour $a=b=1$ et $c=d=0,\!3$, ainsi que deux courbes intégrales.