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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Suites et séries de fonctions > Séries entières >

Cercle de convergence

Soit $\sum_n a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R\in]0,+\infty[.$ On appelle cercle de convergence de cette série entière le cercle $\mathcal C(0,R)$ de centre $0$ et de rayon $R.$ Il est aussi parfois appelé cercle d'incertitude car sur ce cercle, on ne sait pas a priori le comportement de la série entière.

Exemple :

  • Pour la série entière $\sum_n z^n,$ de rayon de convergence $1$, la série diverge en tous les points du cercle de convergence.
  • Pour la série entière $\sum_n \frac 1{n^2}z^n,$ de rayon de convergence $1,$ la série converge en tous les points du cercle de convergence.
  • Pour la série entière $\sum_n \frac1{n}z^n,$ de rayon de convergence $1,$ la série diverge en $1$ et converge en tous les autres points du cercle de convergence.
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