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Bibm@th

Théorème de Cayley-Hamilton

Théorème : Soit $M\in\mathcal M_n(\mathbb C)$, $C_M$ son polynôme caractéristique. Alors $C_M(M)$ est la matrice nulle.

Autrement dit le polynôme caractéristique est annulateur. En particulier, le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique. Bien sûr, ce théorème admet également une version pour les endomorphismes. Il est aussi vrai pour les matrices à coefficients dans un corps ou même dans un anneau commutatif.

Ce résultat, pour la dimension 4, est dû à Hamilton en 1853, alors qu'il cherche l'inverse d'un quaternion, mais sans qu'il l'énonce sous cette forme. Cayley l'énonce dans le cas général en 1857, mais ne fournit une preuve qu'en dimension 2. C'est à Frobenius en 1878 que l'on doit la première preuve dans le cas général.
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