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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Suites et séries de fonctions >

Critère de Cauchy uniforme

Définition : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb C$. On dit qu'elle vérifie le critère de Cauchy uniforme sur $I$ si $$\forall \veps>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall p,q\geq N,\ \forall x\in I,\ |f_p(x)-f_q(x)|<\veps.$$

Autrement dit, pour chaque $x$ de $I$, la suite $(f_n(x))$ est de Cauchy, et toutes ces suites sont de Cauchy "de la même façon".

Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb C$. La suite vérifie le critère de Cauchy uniforme sur $I$ si et seulement si elle converge uniformément sur $I$.

Dans les énoncés précédents, le fait que $I$ soit un intervalle de $\mathbb R$ et que les fonctions sont à valeurs dans $\mathbb C$ n'a pas vraiment d'importance. Le point clé est que $\mathbb C$ est complet. Plus généralement, si $A$ est un ensemble et $(f_n)$ est une suite de fonctions de $A$ à valeurs dans un espace métrique $(Y,d)$, on dit que $(f_n)$ vérifie le critère de Cauchy uniforme si $$\forall \veps>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall p,q\geq N,\ \forall x\in I,\ d(f_p(x),f_q(x))<\veps.$$ Si $Y$ est complet, toute suite qui vérifie le critère de Cauchy uniforme sur $I$ converge uniformément sur $I$, et réciproquement.

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