Suite de Cauchy

On dit qu'une suite $(u_n)$ de réels ou de complexes est une suite de Cauchy lorsque : $$\forall \veps>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall p,q\geq N,\ |u_p-u_q|<\veps.$$

On prouve que, dans $\mathbb R$ ou dans $\mathbb C$, une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy. Ainsi, la condition de Cauchy se révèle parfois utile pour démontrer de façon abstraite qu'une suite est convergente. Il est par exemple très facile en l'utilisant de prouver qu'une série absolument convergente est convergente.

On dit qu'une suite $(u_n)$ d'un espace métrique $(X,d)$ est une suite de Cauchy lorsque $$\forall \veps>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall p,q\geq N,\ d(u_p,u_q)<\veps$$ (si on se place dans un espace vectoriel normé $(E,N)$, on remplace $d(u_p,u_q)$ par $N(u_p-u_q)$).

On prouve encore que toute suite convergente est de Cauchy, mais cette fois en général la réciproque est fausse. On introduit alors la notion d'espace métrique complet pour les espaces dans lesquels toutes les suites de Cauchy convergent.

On dispose des résultats généraux suivants concernant les suites de Cauchy :

La première utilisation des suites de Cauchy pour étudier la convergence d'une série remonte à 4 siècles avant Cauchy. Elle est l'oeuvre de Nicolas Oresme qui a prouvé que la suite $S_n=1+\frac 12+\cdots+\frac 1n$ est divergente. Pour cela, il remarque essentiellement que $S_{2n}-S_n\geq 1/2$, et donc que la suite ne peut pas être de Cauchy. Remarquons toutefois qu'il n'utilise ici que le sens facile : toute suite convergente est nécessairement de Cauchy!