$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Inégalité de Cauchy-Schwarz

L'inégalité de Cauchy-Schwarz est le nom donné à plusieurs inégalités qui sont toutes conséquences d'une inégalité générale faisant intervenir des formes bilinéaires.

Inégalité de Cauchy-Schwarz pour des sommes
Théorème : Soit $(u_1,\dots,u_n)$ et $(v_1,\dots,v_n)$ des nombres réels (ou des nombres complexes). Alors $$\displaystyle \sum_{k=1}^n\vert u_kv_k\vert\leq \left(\sum_{k=1}^n\vert u_k\vert^2\right)^{1/2}\left(\sum_{k=1}^n\vert v_k\vert^2\right)^{1/2}$$ avec égalité si et seulement si $v_k=0$ pour tout $k=1,\dots,n$ ou s'il existe $\lambda\in\mathbb R$ tel que $|u_k|=\lambda |v_k|$ pour tout $k=1,\dots,n.$

Démonstration : On ne traite que le cas réel. On suppose qu'il existe $k\in\{1,\dots,n\}$ tel que $v_k\neq 0$ (sinon on a clairement égalité) et on considère pour $\lambda\in\mathbb R$ le polynôme \begin{align*} P(\lambda)&=\sum_{k=1}^n \big(|u_k|-\lambda|v_k|\big)^2\\ &=\sum_{k=1}^n |u_k|^2-2\lambda\sum_{k=1}^n |u_kv_k|+\lambda^2\sum_{k=1}^n |v_k|^2. \end{align*} $P$ est donc un polynôme en $\lambda$, de degré égal à 2, toujours positif ou nul. Son discriminant est donc négatif ou nul. Or ce discriminant vaut $$\Delta=4\left(\sum_{k=1}^n |u_kv_k|\right)^2-4\left(\sum_{k=1}^n |u_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^n |v_k|^2\right).$$ L'inégalité $\Delta\leq 0$ est donc équivalente à $$\left(\sum_{k=1}^n |u_kv_k|\right)^2\leq \left(\sum_{k=1}^n |u_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^n |v_k|^2\right).$$ Prenant la raciné carrée, on trouve l'inégalité recherchée.

On a égalité si et seulement si le discriminant est nul, donc si et seulement s'il existe $\lambda\in\mathbb R$ tel que $P(\lambda)=0.$ Puisque $P$ est la somme de termes tous positifs ou nuls, ceci n'est vrai que si tous les termes sont nuls, donc si et seulement si $|u_k|=\lambda|v_k|$ pour tout $k=1,\dots,n.$

Avec des intégrales
Théorème : Soit $f,g\in\mathcal C([a,b],\mathbb R).$ Alors $$ \int_a^b\vert fg\vert\leq\left(\int_a^b\vert f\vert^2\right)^{1/2} \left(\int_a^b\vert g\vert^2\right)^{1/2}$$ avec égalité si et seulement si $g=0$ ou s'il existe $\lambda\in\mathbb R$ tel que $|f|=\lambda |g|.$
Dans un espace préhilbertien
Théorème : Soit $H$ un espace préhilbertien. Alors, pour tous $x,y\in H$, on a $|\langle x,y\rangle|\leq \|x\|\cdot \|y\|$, avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont liés.
Avec une forme quadratique positive
Théorème : Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel, $q:E\to\mathbb R$ une forme quadratique positive et $\phi$ sa forme bilinéaire symétrique associée. On a alors pour tout $(x, y) \in E^2,$ $$|\phi(x,y)|^2\leq q(x)q(y).$$ Si de plus $q$ est définie, il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ forment une famille liée.

Cette inégalité est encore valable si $E$ est un $\mathbb C$-espace vectoriel, et si $\phi$ est une forme hermitienne positive sur $E.$

C'est Augustin Cauchy qui s'intéresse le premier à cette inégalité dans son livre Analyse algébrique parue en 1821 et qui reprend son cours donné à l'École Polytechnique depuis 1814. C'est l'inégalité pour les sommes qu'il démontre. En 1859, le mathématicien russe Victor Bouniakowski énonce l'inégalité pour les intégrales, sans en donner une démonstration autre qu'une démonstration intuitive à partir de celle des sommes. Il faut attendre Hermann Schwarz en 1888 pour obtenir une preuve correcte dans ce cadre. Quant à la formulation en termes d'inégalité portant sur un produit scalaire, il faudra attendre la formalisation des espaces euclidiens et hermitiens par Hermann Weyl au début du XXè siècle.
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