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Inégalités de Cauchy

Les inégalités de Cauchy fournissent des estimations sur les dérivées d'une fonction holomorphe lorsqu'on connait des estimations sur la fonction elle-même.

Théorème : Si $f$ est une fonction holomorphe dans un disque $D(z_0,R)$, alors, pour tout $n$ positif et tout $r$ dans $]0,R[$, on a : $$\left|\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\right|\leq \frac{M(r)}{r^n}$$ où $M(r)=\sup\{|f(z)|; |z-z_0|=r\}$.

Un des corollaires les plus impressionnants des inégalités de Cauchy est le théorème de Liouville.

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