Théorème de Cartan-Dieudonné
Les théorèmes de Cartan-Dieudonné sont des théorèmes énonçant que les isométries d'un espace sont engendrées par les réflexions, et majorant le nombre de réflexions nécessaires. L'énoncé le plus simple est le suivant.
Théorème : Soit $n\in\mathbb N^*.$
- Le groupe $O_n(\mathbb R)$ est engendré par les réflexions. Plus précisément, tout élément de $O_n(\mathbb R)$ est produit d’au plus $n$ réflexions.
- De plus, si $n\geq 3,$ le groupe $SO_n(\mathbb R)$ est engendré par les renversements. Plus précisément, tout élément de $SO_n(\mathbb R)$ est produit d’au plus $n$ renversements.
On a un énoncé plus général dans les espaces vectoriels sur des corps de caractéristique différente de deux.
Théorème : Soit $n\geq 1$ et $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur un corps $\mathbb K$
de caractéristique différente de $2.$ Soit $q:E\to\mathbb K$ une forme quadratique non dégénérée. Alors tout élément
$u\in O(q)$ est produit d'au plus $n$ réflexions.
Il existe aussi une version du théorème de Cartan-Dieudonné dans un espace affine de dimension $n$. Cette fois, on peut prouver que toute isométrie est produit d'au plus $n+1$ réflexions.
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