$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Cardinal, et hiérarchie au delà de l'infini!

Le cardinal d'un ensemble $E$ est le nombre d'éléments de cet ensemble. Voilà une définition qui ne pose pas de problèmes si $E$ est un ensemble fini.... Mais comment définir le cardinal, ou nombre d'éléments d'un ensemble infini?? Est-ce qu'il peut y avoir une hiérarchie entre les ensembles infinis? Par exemple, peut-on dire que l'ensemble des nombres entiers naturels $\mathbb N$ a moins d'éléments que celui des nombres réels $\mathbb R?$

Soit $E$ et $F$ deux ensembles quelconques. On dit que $E$ et $F$ sont équipotents s'il existe une bijection de $E$ sur $F.$ Cette relation "être équipotent" est une relation d'équivalence. On appelle nombre cardinal d'un ensemble $E$ la classe d'équivalence de l'ensemble $E$ pour cette relation. Par abus de langage, on dira que $E$ est de cardinal l'entier naturel non nul $n$ si $E$ est équipotent à l'ensemble $\{1,2,3,...,n\}.$ Si l'ensemble $E$ est infini, son cardinal est ce que l'on appelle un nombre transfini.

Comment définir une hiérarchie sur les cardinaux? On dira que le nombre cardinal d'un ensemble $E$ est plus petit que le nombre cardinal d'un ensemble $F$ si $E$ est en bijection avec une partie de $F,$ sans être en bijection avec $F$ tout entier. Par exemple, $n$ est bien plus petit que $n+1,$ puisque l'ensemble $\{1,...,n\}$ est en bijection avec une partie de $\{1,...,n+1\},$ sans être en bijection avec l'ensemble complet.

Que dire des cardinaux infinis? $\mathbb N=\{0,1,2,3,....\}$ est un ensemble infini, et son cardinal est le plus petit nombre cardinal infini. Mais il existe des cardinaux strictement plus grands : par exemple, l'ensemble des réels $\mathbb R$ ne peut pas être mis en bijection avec $\mathbb N.$

Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique