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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Anneaux >

Caractéristique d'un anneau

Soit $A$ un anneau unitaire, d'élément unité $e$. L'application $$\begin{array}{rcl} f:\mathbb Z&\to&A\\ n&\mapsto& ne\end{array}$$ est un morphisme d'anneaux. Son noyau est un idéal de $\mathbb Z$, il est donc de la forme $q\mathbb Z$, où $q\in\mathbb N.$ On appelle caractéristique de $A$ cet entier $q$.

La caractéristique d'un anneau vérifie les propriétés suivantes :

  • si $B$ est un sous-anneau unitaire de $A,$ alors $A$ et $B$ ont même caractéristique.
  • pour tout morphisme d'anneaux unitaires $g : A \to B,$ la caractéristique de $B$ divise celle de $A.$
  • la caractéristique d'un anneau intègre est soit nulle, soit un nombre premier.
  • le seul anneau dont la caractéristique vaut 1 est l'anneau nul.
  • tout anneau totalement ordonné est de caractéristique nulle.
  • la caractéristique du produit cartésien $A\times B$ est le ppcm des caractéristiques de $A$ et de $B.$
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