Canonique

Le terme canonique n'a pas de définition mathématique précise. Il signifie le plus souvent "naturel", ou "le plus simple possible", mais il doit être éclairci dans chaque situation.

Si $aX^2+bX+c$ est un polynôme du second degré, sa forme canonique est son écriture sous la forme $$aX^2+bX+c=a\left(\left(X+\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right)$$ qu'on obtient en reconnaisant dans $aX^2+bX+c$ le début du développement d'un carré.

La forme canonique permet notamment de démontrer les formules donnant les racines d'un polynôme du second degré.

Dans l'espace vectoriel $\mathbb R^n$ (ou plus généralement $\mathbb K^n$ avec $\mathbb K$ un corps), la base canonique est la base $(e_1,\dots,e_n)$ où $e_1=(1,0,\dots,0),$ $e_2=(0,1,0,\dots,0),$ $\dots,$ $e_n=(0,\dots,0,1).$ Dans l'espace vectoriel $\mathbb R[X]$ (ou plus généralement $\mathbb K[X]$), la base canonique est la base $(X^n)_{n\in\mathbb N}.$ Dans l'espace vectoriel $\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)$ (ou plus généralement $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$), la base canonique est la base des matrices élémentaires $(E_{i,j})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq p}$ où $E_{i,j}$ est la matrice ne comportant que des $0$, sauf le coefficient à la $i$-ème ligne et à la $j$-ème colonne qui est égal à $1.$

Si $A$ et $B$ sont deux ensembles avec $A\subset B,$ l'injection canonique de $A$ dans $B$ est l'application $A\to B,\ x\mapsto x.$ On parle aussi d'injection canonique dans des contextes plus particuliers. Par exemple, si $E$ est un espace vectoriel, si pour $x\in E,$ on définit $\phi_x:E^*\to\mathbb K,\ \phi_x(\ell)=\ell(x),$ alors l'application $E\to E^{**},\ x\mapsto \phi_x$ s'appelle l'injection canonique de $E$ dans son bidual $E^{**}.$ C'est une application injective.

Si $X$ est un ensemble muni d'une relation d'équivalence $\mathcal R,$ l'application $X\to X/\mathcal R,$ $x\mapsto \bar x$ où $\bar x$ désigne la classe de $x$ et $X/\mathcal R$ est l'ensemble des classes d'équivalence, s'appelle la surjection canonique de $X$ sur $X/\mathcal R$ (on parle aussi parfois de projection canonique). Ce cadre contient celui où $G$ est un groupe, où $H$ est un sous-groupe normal de $G,$ et où $p:G\to G/H,\ x\mapsto xH.$

Soit $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K).$ L'application linéaire canoniquement associée à $A$ est l'application $\phi_A:\mathbb K^n\to\mathbb K^p,$ définie par $$\phi_A(e_j)=\sum_{i=1}^p a_{i,j}f_i,$$ où $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ est la base canonique de $\mathbb K^n$ et $\mathcal B'=(f_1,\dots,f_p)$ est la base canonique de $\mathbb K^p.$ Autrement dit, la matrice de $\phi_A$ dans les bases $\mathcal B$ et $\mathcal B'$ est $A.$

On parle parfois d'isomorphisme canonique entre deux objets pour décrire un isomorphisme qui ne dépend pas d'un choix particulier, comme le choix d'une base. Par exemple, si $E$ est un espace vectoriel de dimension $n,$ alors son dual $E^*$ est de dimension $n$ et on sait que $E$ et $E^*$ sont isomorphes. Mais a priori la construction d'un isomorphisme entre $E$ et $E^*$ dépend du choix d'une base de $E$ et d'une base de $E^*$.

Maintenant, si on suppose de plus que $E$ est euclidien, alors il est facile de construire un isomorphisme entre $E$ et $E^*$. Considérons en effet pour tout $x\in E$ la forme linéaire $\ell_x:y\mapsto \langle x,y\rangle.$ Alors l'application $E\to E^*,\ x\mapsto \ell_x$ est un isomorphisme, qui s'appelle l'isomorphisme canonique entre $E$ et $E^*.$