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Lemme des bergers

Théorème (lemme des bergers) : Soient $X$, $Y$ deux ensembles finis, et $f:X\to Y$ une application surjective telle que tout élément de $Y$ a exactement $n$ antécédents dans $X$. Alors on a : $\textrm{card}(X)=n\times\textrm{card}(Y)$.

Démonstration : Expliquons. On considère un troupeau de moutons (non transgéniques...), on pose $Y$={moutons}, $X$={pattes des moutons}, et on considère $f:X\to Y$ l'application qui à une patte associe son propriétaire. C'est bien une application surjective, et chaque mouton a 4 pattes, autrement dit chaque élément de $Y$ a 4 antécédents par $f$. On a : $\textrm{card}(X)=4\times \textrm{card}(Y)$. Pour connaître le nombre de pattes, il suffit de connaître le nombre de moutons. La démonstration générale copie ce raisonnement, en le mathématisant par l'introduction d'une relation d'équivalence.

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