Théorèmes de Burnside (groupe)
Plusieurs résultats sur les groupes finis portent le nom de théorème de Burnside. En voici trois :
Théorème de Burnside sur le centre des $p$-groupes :
Le centre d'un $p$-groupe non trivial est non trivial.
Théorème de Burnside sur les groupes résolubles :
Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers et $n,m\in\mathbb N.$ Tout groupe d'ordre $p^nq^m$ est résoluble.
Théorème de Burnside sur les $p$-Sylow :
Soit $G$ un groupe fini, $S$ un $p$-Sylow de $G$. Si $S$ est contenu dans le centre de son normalisateur,
alors il existe un sous-groupe distingué $N$ de $G$ tel que $G/N$ est isomorphe à $S$.
Théorème de Burnside pour $GL_n(\mathbb C)$ :
Soit $n\in\mathbb N^*.$ Alors tout sous-groupe de $GL_n(\mathbb C)$ d'exposant fini est fini.
Plus généralement, si $\mathbb K$ est un corps de caractéristique $p$ (éventuellement égale à $0$), tout sous-groupe de $GL_n(\mathbb K)$ d'exposant fini $e$ non divisible par $p$ est fini.
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