Algorithme de Brounckner
L'algorithme de Brounckner est un algorithme donnant une valeur approchée de l'aire du domaine comprise entre l'hyperbole $y=1/x$, l'axe des abscisses, et deux droites $x=a$ et $x=b$. En particulier, pour $a=1$ et $b=2$, il permet d'obtenir une valeur approchée de $$\int_1^2 \frac{dx}{x}=\ln(2).$$ Nous allons décrire l'écrire dans ce cas particulier. On notera $f(x)=1/x$.
- Première étape : On considère le rectangle $R_1$ de sommet les points
$(1,0)$, $(2,0)$, $(2,f(2))$, $(1,f(1))$ (plus grand rectangle ayant pour côté $[1,2]$ situé sous l'hyperbole).
Une première approximation de $\ln 2$ est l'aire de ce rectangle, à savoir $1/2$ qu'on écrira sous la forme
$$\ln 2\simeq \frac{1}{1\times 2}.$$
- Deuxième étape : On recommence, mais en cherchant, au dessus du rectangle $R_1$,
les plus grands rectangles situés sous l'hyperbole ayant pour longueur $1/2$ que l'on peut mettre au-dessus de $R_1$ et sous l'hyperbole.
On ne peut placer qu'un rectangle, le rectangle $R_2$ dont les sommets sont $(1,1/2)$, $(3/2,1/2)$, $(3/2,f(3/2))$,
$(1,f(3/2)).$ L'aire de ce rectangle est
$$\frac{1}2\times\frac{1}{6}=\frac{1}{3\times 4}.$$
On a donc, avec une précision meilleure,
$$\ln 2\simeq \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}.$$
- Troisième étape : On continue, en cherchant cette fois, au-dessus des deux rectangles
précédemment construits, les rectangles de largeur $1/4$ les plus grands possibles situés sous l'hyperbole. Ils sont deux :
le rectangle $R_3$ dont les sommets sont les points $(1,f(3/2))$, $(5/4,f(3/2))$, $(5/4,f(5/4))$, $(1,f(5/4))$ et $R_4$ dont les
sommets sont $(3/2,f(3/2))$, $(7/4,f(3/2))$, $(7/4,f(7/4))$, $(3/2,f(7/2))$. Les aires respectives de ces rectangles sont
$$\frac{1}{5\times 6}\textrm{ et }\frac{1}{7\times 8},$$
de sorte que, avec une précision encore meilleure,
$$\ln 2\simeq \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}+\frac{1}{7\times 8}.$$
- Étape n : L'algorithme s'itère. A l'étape $n\geq 2$, on construit les $2^{n-2}$ rectangles dont
les sommets sont $(1+2i/2^{n-1},f(1+(2i+2)/2^{n-1}))$, $(1+(2i+1)/2^{n-1},f(1+(2i+2)/2^{n-1}))$, $(1+(2i+1)/2^{n-1},f(1+(2i+1)/2^{n-1}))$, $(1+2i/2^{n-1},f(1+(2i+1)/2^{n-1}))$, pour $i$
allant de $0$ à $2^{n-2}-1$. Après un petit calcul, on montre que la somme des aires de ces rectangles est
$$\frac{1}{(2^{n-1}+1)\times (2^{n-1}+2)}+\frac{1}{(2^{n-1}+1)\times (2^{n-1}+2)}+\cdots+\frac{1}{(2^n-1)\times 2^n}.$$
La somme des aires de tous les rectangles converge bien vers $\ln(2)$ car on a la formule
$$\ln(2)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)(2k+2)}.$$
C'est en 1688 que le linguiste et mathématicien
anglais William Brounckner développe cette méthode pour obtenir une valeur approchée de $\ln(2)$. On lui
doit également la première écriture de $4/\pi$ sous forme de fraction continue.
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