Etude des branches infinies - Cas des courbes paramétrées
Définition : Soit $(I,f$) un arc paramétré du plan et $C$ la courbe paramétrée associée. On dit que $C$ admet
une branche infinie lorsque $t$ tend vers $t_0$, où $t_0$
est une extrémité de $I$, si
$$\lim_{t\to t_0}\|f(t)\|=+\infty.$$
Notons $f(t)=(x(t),y(t))$. Les branches infinies généralement rencontrées sont de l'une des formes suivantes :
- Si $\lim_{t\to t_0}y(t)=\pm\infty$ et $\lim_{t\to t_0}x(t)=a$, alors la courbe paramétrée possède une asymptote verticale d'équation $x=a$.
- Si $\lim_{t\to t_0}y(t)=b$ et $\lim_{t\to t_0}x(t)=\pm\infty$ alors la courbe paramétrée possède une asymptote horizontale d'équation $y=b$.
- Si $\lim_{t\to t_0}y(t)=\pm\infty$ et $\lim_{t\to t_0}x(t)=\pm\infty$, alors on s'intéresse à la quantité
$a=\lim_{t\to t_0}\frac{y(t)}{x(t)}$ :
- Si $a=\pm\infty$, alors la courbe paramétrée $C$ possède une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
- Si $a=0$, alors la courbe paramétrée $C$ possède une
branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
- Si $a\in\mathbb R$, alors on s'intéresse, si elle existe,
à $b=\lim_{t\to t_0}y(t)-ax(t)$.
- Si $b=\pm\infty$, alors la courbe paramétrée $C$ possède une branche parabolique de direction asymptotique la droite d'équation $y=ax$.
- Si $b$ existe et est fini, alors la courbe paramétrée $C$ possède une asymptote d'équation $y=ax+b$. De plus, le signe de $y(t)-(ax(t)+b)$ au voisinage de $t_0$ donne la position de la courbe par rapport à son asymptote.
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