Etude des branches infinies - Cas des courbes représentatives
Une branche infinie d'une courbe représentative $C_f$ d'une fonction $f$ apparaît dès lors que l'une au moins des coordonnées $x$ ou $y$ tend vers l'infini. L'étude des branches infinies est indispensable à l'étude du comportement global d'une fonction.
Si en un point $a$, $f$ admet une limite (éventuellement à gauche ou à droite) infinie, on dit que la courbe $C_f$ admet la droite d'équation $x=a$ comme asymptote.
Exemple : La courbe représentative de la fonction $f(x)=1/(x-1)$ admet la droite d'équation $x=1$ comme asymptote (verticale).
La courbe $C_f$ d'équation $y=f(x)$ admet la droite d'équation $y=ax+b$ comme asymptote si la différence $f(x)-(ax+b)$ tend vers 0 si $x$ tend vers plus l'infini ou vers moins l'infini. Géométriquement, cela revient à dire que, si on appelle $M$ le point de la courbe d'abscisse $x$, et $P$ le point de la droite de la même abscisse, la distance de $M$ à $P$ a pour limite 0 quand le point $M$ s'éloigne indéfiniment sur la courbe.
Exemple : La courbe d'équation $y=1/(x-1)$ admet la droite d'équation $y=0$ comme asymptote.
Il arrive parfois que $f(x)/x$ tende vers une limite $a$ en $+\infty$, alors que la limite de $f(x)-ax$ n'est pas définie. On dit alors que $C_f$ admet une branche parabolique, ou encore que $C_f$ admet une direction asymptotique. On distingue 3 cas :
- $a=\pm\infty$. Nous avons une branche parabolique de direction $(Oy).$ L'exemple typique est $x^2$.
- $a=0$. Nous avons une branche parabolique de direction $(Ox).$ Les exemples typiques sont $\sqrt x,\ln (x)$.
- $a\in\mathbb R$ n'est pas nul. Alors on dit que la courbe admet une direction asymptotique
de direction la droite $y=ax$. C'est le cas par exemple pour $f(x)=x/2+\sqrt x$ dont la courbe représentative admet pour direction
asymptotique la droite $y=x/2$.
