$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Fonctions et ensembles bornés

Fonctions et suites

Soit $f:E\to\mathbb R$ une fonction.

  • $f$ est majorée s'il existe $M\in\mathbb R$ tel que $f(x)\leq M$ pour tout $x\in E$. On dit alors que M est un majorant de $f$.
  • $f$ est minorée s'il existe $m\in\mathbb R$ tel que $f(x)\geq m$ pour tout $x\in E$. On dit alors que m est un minorant de $f$.
  • $f$ est bornée si $f$ est à la fois minorée et majorée.

On a les mêmes définitions pour une suite. Par exemple, une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe $M\in\mathbb R$ tel que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\leq M$.

Parties de $\mathbb R$

Une partie $A$ de $\mathbb R$ est dite

  • majorée s'il existe $M\in\mathbb R$ tel que, pour tout $x\in A$, $x\leq M.$
  • minorée s'il existe $m\in\mathbb R$ tel que, pour tout $x\in A$, $x\geq m.$
  • bornée si elle est majorée et minorée.

Ex : $A=\{x\in \mathbb R:\ \exists n\in\mathbb N,\ x=n^2-n\}$. Alors $A$ est minorée par $0$, et $A$ n'est pas majorée. En effet, si $A$ était majorée par $M$, pour tout entier $n\geq 2$, on aurait $$M\geq n^2-n=n(n-1)\geq n.$$ Ceci est impossible car $\mathbb N$ n'est pas majoré.

Si A est une partie majorée, il existe en général plusieurs majorants. Il en existe un plus important que tous les autres : c'est la borne supérieure.

Théorème et définition : Si $A$ est une partie majorée de $\mathbb R$, on appelle borne supérieure de $A$ l'unique réel $s$ tel que :
  • $s$ majore $A$.
  • Si $M$ est un majorant de $A$, $s\leq M$.

La borne supérieure est donc le plus petit des majorants. Son existence n'est pas évidente, elle est intimement liée à la construction de $\mathbb R$.

La borne supérieure est caractérisée par la propriété suivante :

Proposition : Soit $A$ une partie majorée de $\mathbb R$ et $s$ un réel. Alors $s$ est la borne supérieure de $A$ si et seulement si :
  • pour tout $x\in A$, $x\leq s$;
  • pour tout $\veps>0$, il existe $x\in A$ tel que $x\geq s-\veps$.
On définit de même une borne inférieure pour les ensembles minorés :

Théorème et définition : Soit $A$ est une partie minorée de $\mathbb R$. On appelle borne inférieure de $A$ l'unique réel $t$ tel que
  • $t$ minore $A$.
  • Si $m$ est un minorant de $A$, $m\leq t$.

La borne inférieure est le plus grand des minorants!

Exemple : $A=\{1/n; n\in\mathbb N^*\}$. $A$ est borné, sa borne supérieure est $1$ (atteinte!), sa borne inférieure est $0$ (non atteinte).

Dans les espaces vectoriels normés, les espaces métriques

Une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$ est dite bornée s'il existe $M>0$ tel que $A\subset \bar B(0,M),$ c'est-à-dire que, pour tout $x\in A,$ $\|x\|\leq M.$

Une partie $A$ d'un espace métrique borné $(E,d)$ est dite bornée s'il existe $x\in E$ et $M>0$ tel que $A\subset B(x,M),$ c'est-à-dire que, pour tout $x\in A,$ $d(x,a)\leq M.$

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