Matrice bordante

Soit $M$ une matrice carré de taille $n$ dont les coefficients sont notés $(m_{i,j})_{i,j=1,\dots,n}$. Soit $1\leq r\leq n-1$ et soit $A$ une matrice extraite de $M$ de taille $r$, c'est-à-dire une matrice dont les coefficients sont $(m_{i,j})_{i\in I,\ j\in J}$, où $I,J$ sont des parties de $\{1,\dots,n\}$ de cardinal $r$. On appelle matrice bordante de $A$ relativement à $M$ toute matrice dont les coefficients sont $(m_{i,j})_{i\in K,\ j\in L}$ où $K,L$ sont des parties de $\{1,\dots,n\}$ de cardinal $r+1$ telles que $K$ contienne $I$ et $L$ contienne $J$.

Exemple : Considérons la matrice $M$ d'ordre $4$ et la matrice extraite $A$ d'ordre 2 suivantes : $$M=\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&3&7\\ 0&2&4&6\\ 3&2&-5&0\\ 9&-8&-4&1 \end{array} \right),\ A=\left( \begin{array}{cc} 1&-1\\ 0&2 \end{array} \right).$$ Alors il y a 4 matrices bordantes de $A$ relativement à $M$ qui sont données par : $$\left( \begin{array}{ccc} 1&-1&3\\ 0&2&4\\ 3&2&-5\\ \end{array} \right),\ \left( \begin{array}{ccc} 1&-1&3\\ 0&2&4\\ 9&-8&-4\\ \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{ccc} 1&-1&7\\ 0&2&6\\ 3&2&0\\ \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{ccc} 1&-1&7\\ 0&2&6\\ 9&-8&1\\ \end{array} \right).$$

Les matrices bordantes permettent (au moins théoriquement) de déterminer le rang d'une matrice.