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Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Géométrie projective >

Birapport et projection centrale

Birapport

Le birapport ou rapport anharmonique de 4 points $I,J,A,B,$ pris dans cet ordre, et situés sur un même axe orienté, est la quantité : $$\frac{\overline{IA}}{\overline{IB}}: \frac{\overline{JA}}{\overline{JB}}$$ Il est noté $[I,J,A,B].$ Lorsque le birapport $[I,J,A,B]$ vaut $-1,$ on dit que les 4 points forment une division harmonique, ou encore que $I$ est conjugué de $J$ par rapport à $A,B.$

Le rapport anharmonique de quatre droites concourantes est celui des quatre points d'intersection de ces droites par une sécante quelconque (c'est une quantité indépendante de la sécante!). Si le birapport vaut $-1,$ on dit que les 4 droites forment un faisceau harmonique.

On peut encore définir le birapport de 4 points sur une conique : si $A,B,C,D$ sont quatre points situés sur un même cercle, ou sur une même conique, et si $O$ est un autre point de cette conique, le birapport des 4 droites joignant $O$ à $A,B,C,D$ est indépendant du point $O$ choisi; c'est ce birapport qu'on appelle le birapport des 4 points $A,B,C,D.$ Si le birapport des 4 points est égal à $-1,$ on dit qu'ils forment un quadrangle harmonique.

Projection centrale

Etant donné un point $S$ de l'espace, et un plan $P$ ne contenant pas $S,$ la projection centrale de sommet $S$ est la transformation qui, à tout point $M$ autre que $S,$ fait correspondre l'intersection de la droite $(SM)$ et du plan $P.$ Une projection centrale conserve le birapport de 4 points.

Construction du conjugué harmonique

Soient $A,B,J$ alignés, on cherche à construire un point $I$ tel que $[I,J,A,B]=-1.$ Pour cela, soit un point $D$ du plan qui n'est pas sur la droite, et on construit les droites $(AD)$ et $(BD).$ On considère une droite passant par $J$ qui coupe $(AD)$ en $F$ et $(BD)$ en $G.$ Les droites $(AG)$ et $(BF)$ se coupent alors en $H.$ L'intersection de $(DH)$ avec la droite $(AB)$ est alors le point $I$ recherché.

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