Règles de Bioche
Les règles de Bioche sont des règles pour calculer des intégrales de fractions rationnelles en sinus et cosinus, en les ramenant à des intégrales de fractions rationnelles. Précisément, posons $w(x)=F(x)dx$ l'intégrande (avec l'élément différentiel). Alors,
- si $w(-x)=w(x)$, on pose $t=\cos x$.
- si $w(\pi-x)=w(x)$, on pose $t=\sin x$.
- si $w(\pi+x)=w(x)$, on pose $t=\tan x$.
Si deux des trois propriétés précédentes sont vraies (dans ce cas la troisième est automatiquement vraie), alors on peut aussi poser $t= \cos(2x).$ Enfin, si aucune des propriétés n'est vérifiée, on pose $t=\tan(x/2).$
Exemple : Soit à calculer l'intégrale $$I=\int_0^{\pi/4}\frac{\sin^3(x)}{1+\cos^2 x}dx.$$ Avec les notations précédentes, on a $$w(x)=\frac{\sin^3(x)}{1+\cos^2 x}dx.$$ qui vérifie $$w(-x)=w(x)$$ On pose donc $t=\cos x$, de sorte que $$\sin^3 x=(\sin^2)\sin xdx=-(1-t^2)dt.$$ Le calcul donne alors : $$\begin{align*} I&=\int_{\sqrt 2/2}^1\frac{1-t^2}{1+t^2}dt\\ &=-\int_{\sqrt 2/2}^1 dt+\int_{\sqrt 2/2}^1\frac 2{1+t^2}dt\\ &=-1+\frac{\sqrt 2}2+\frac\pi 2-2\arctan(\sqrt 2/2). \end{align*}$$