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Bibm@th

Binôme de Newton - Coefficients binomiaux

Théorème : Si $a$ et $b$ sont deux nombres complexes, et $n$ est un entier naturel, alors $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k}.$$

Cette formule explique le nom de coefficients binomiaux donné aux $\binom nk$. Elle reste vraie si $a$ et $b$ sont deux éléments d'un même anneau lorsque $a$ et $b$ commutent.

Si cette formule porte de le nom de Newton, elle était connue des mathématiciens arabes 6 siècles auparavant. Ainsi, on sait que le mathématicien persan Muhammed al-Karaji l'avait établie autour de l'an 1000. Isaac Newton a lui généralisé cette formule vers 1676 à des exposants fractionnaires : on trouve alors un développement en série, et non une somme finie. Toutefois, il faudra encore attendre le XIXè siècle pour avoir une preuve rigoureuse des formules établies par Newton.
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