Théorème de la bijection
Théorème : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R.$ Soit $f : I \to\mathbb R.$
On suppose que $f$ est continue et strictement monotone sur $I.$ Alors :
- $f$ réalise une bijection de $I$ sur l’intervalle $J = f(I).$
- $f^{-1}$ est continue et strictement monotone sur $J,$ de même sens de variation que $f.$
- De plus, si $f$ est dérivable en un point $x_0$ de $I$ et si $f'(x_0)\neq 0,$ $f^{-1}$ est dérivable au point $y_0 = f(x_0)$ et $$(f^{-1})'(y_0) = \frac 1 {f'(x_0)} = \frac 1 {f'(f^{-1}(y_0))}.$$
Ce théorème est un des moyens de construire la fonction logarithme népérien si on a construit auparavant la fonction exponentielle. Celle-ci est une fonction continue et strictement croissante sur $\mathbb R,$ vérifiant $\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty.$ Elle réalise donc une bijection de $\mathbb R$ sur $]0,+\infty[.$ On appelle logarithme népérien sa bijection réciproque. Elle est définie, continue et strictement croissante sur $]0,+\infty[.$
Il est aussi possible de donner des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction définie sur un intervalle de $\mathbb R$ soit injective.
Théorème : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et soit $f : I \to\mathbb R.$
- Une fonction monotone est injective si et seulement si elle strictement monotone.
- Si $f$ est continue et injective, alors elle est strictement monotone.
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