Espace bien enchaîné

Un espace métrique $X$ est bien enchaîné si pour tous points $x,y$ de $X$, et tout $a>0$, il existe une suite de points $x_0,\dots,x_n$ de X avec $x_0=x$ et $x_n=y$ telle que $d(x_k,x_{k+1})<a$ pour tout $k=0,\dots,n-1$.

"Etre bien enchaîné" est une variation d'être connexe. Si un espace est connexe, il est bien enchaîné. La réciproque est en général fausse, comme le montre l'exemple des rationnels ou de $]0,1[\cup ]1,2[$. En revanche, si $X$ est de plus supposé compact, alors $X$ est connexe si et seulement si $X$ est bien enchaîné.