Bidual

Soit $E$ un espace vectoriel. On appelle bidual, et on note $E^{**}$, le dual de $E^*$, lui-même dual de $E$.

A tout $x\in E,$ on peut associer un élément $\varphi_x$ de $E^{**}$ de la façon suivante : pour $\ell\in E^*,$ $\varphi_x(\ell)=\ell(x).$ L'application $E\to E^{**},\ x\mapsto \varphi_x$ est une application linéaire injective qu'on appelle injection canonique de $E$ dans $E^{**}$. Si $E$ est de dimension finie, alors $E^{**}$ a même dimension que $E$ et l'application précédente est un isomorphisme.