Identité de Bachet-Bézout et théorème de Bézout

L'identité de Bachet-Bézout est un résultat d'arithmétique qui dit que le pgcd de deux entiers $a$ et $b$ peut s'exprimer sous la forme $au+bv$ avec $u$ et $v$ des entiers.

Le théorème de Bézout donne une réciproque à cette propriété lorsque $d=1$, c'est-à-dire que les entiers sont premiers entre eux.

Les entiers $u$ et $v$ ne sont pas uniques. Si $(u_0,v_0)$ est un couple de solutions, l'ensemble des solutions est donné par les couples $(u_0+kb,v_0-ka)$ où $k$ parcourt $\mathbb Z$. La recherche d'une solution particulière peut être très importante, par exemple pour résoudre une équation de congruence ou chercher l'inverse d'un élément dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$. L'algorithme d'Euclide étendu en fournit un moyen très efficace.

Le théorème précédent n'est pas spécifique aux entiers. Il peut être appliqué avec des polynômes :

Plus généralement, l'identité de Bézout caractérise deux éléments premiers entre eux dans un anneau principal. Un anneau vérifiant la propriété du théorème est appelé anneau de Bézout.

Les théorèmes précédents sont parfois simplement appelés "théorème de Bézout". Pourtant, sa version concernant les entiers naturels apparait pour la première fois en 1612 dans les commentaires de la traduction latine de l'Arithmétique de Diophante, rédigée par Bachet (cette même édition en marge duquel Fermat formula son célèbre théorème). Etienne Bézout s'est lui intéressé en 1764 à la résolution de systèmes d'équations polynômiales. Il introduit une technique d'abaissement de degré qui, en remontant les calculs, revient à déterminer les polynômes $U$ et $V$ de l'identité de Bézout polynomiale. Il n'a cependant jamais formellement énoncé ce théorème. C'est Nicolas Bourbaki qui en 1952 attribue le nom de Bézout à ce résultat, dans le cadre des anneaux principaux.

Source : Biographie des grands théorèmes, par X. Hauchecorne, aux éditions Ellipses.