Equation et fonctions de Bessel
On appelle équation de Bessel l'équation différentielle $$x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0$$ où $\nu$ est un réel positif. Lorsqu'on cherche à résoudre cette équation différentielle, on pose $y(x)=x^\nu g(x)$ et on cherche les solutions de sorte que $g$ soit développable en séries entières. On voit alors apparaître la fonction suivante : $$J_\nu(x)=\left(\frac x2\right)^\nu\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{(-1)^p x^{2p}}{2^{2p}p!\Gamma(p+\nu+1)}.$$ La fonction $J_\nu$, qui est solution de l'équation de Bessel, s'appelle fonction de Bessel d'ordre $\nu$. On définit aussi : $$J_{-\nu}(x)=\left(\frac x2\right)^{-\nu}\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{(-1)^p x^{2p}}{2^{2p}p!\Gamma(p+\nu+1)}.$$ Lorsque $\nu$ n'est pas entier, $(J_\nu,J_{-\nu})$ forme un système fondamental de solutions.
On introduit parfois d'autres solutions de l'équation de Bessel :
- la fonction de Neumann : $$N_\nu(x)=\frac{\cos(\pi\nu)J_\nu(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\pi\nu)}.$$
- les fonctions de Hankel : $$H_\nu^{(1)}(x)=J_\nu+iN_\nu,\ H_\nu^{(2)}=J_\nu-iN_\nu.$$
Les fonctions de Bessel jouent un rôle important en physique mathématique, où elles interviennent dans des problèmes de conduction de la chaleur, d'électromagnétisme et de diffraction. Elles possèdent certaines analogies avec les fonctions trigonométriques, comme leur caractère oscillant. D'autres formules sur les fonctions de Bessel se trouvent dans le formulaire.