Séries et intégrales de Bertrand
Série :
Les séries de Bertrand sont les séries de terme général $\displaystyle \frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels. Le théorème suivant donne une condition nécessaire et suffisante de convergence des séries de Bertrand :
Théorème :
$\displaystyle \sum_n \frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}$ converge
si et seulement si $\alpha >1$ ou $(\alpha=1\textrm{ et }\beta>1)$.
Intégrale :
Les intégrales de Bertrand sont les intégrales impropres de la forme : $$\int \frac{dx}{x^\alpha (\ln x)^\beta}$$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels. Le théorème suivant donne une condition nécessaire et suffisante de convergence de ces intégrales :
Théorème :
- $\displaystyle \left(\int_e^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha (\ln x)^\beta}\right)\textrm{ converge }$ si et seulement si $\alpha>1 $ ou $(\alpha=1\textrm{ et }\beta>1)$.
- $\displaystyle \left(\int_0^{1/e}\frac{dx}{x^\alpha (\ln x)^\beta}\right)\textrm{ converge }$ si et seulement si $\alpha<1 $ ou $(\alpha=1\textrm{ et }\beta>1)$.
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