Théorème de Bernstein (pour les séries entières)

Théorème : Soit $a>0$ et soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $]-a,a[.$ On suppose que $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $]-a,a[$ et que, pour tout $x\in]-a,a[$ et tout $p\geq 0$, $f^{(2p)}(x)\geq 0$. Alors $f$ est développable en série entière sur l'intervalle $]-a,a[.$