Nombres de Bell

On appelle $n$-ième nombre de Bell le nombre de partitions d'un ensemble à $n$ éléments (ou, ce qui revient au même, le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à $n$ éléments). Si on note $B_n$ le $n$-ième nombre de Bell, alors $$B_0=1,\ B_1=1,\ B_2=2,\ B_3=5\dots...$$ On peut ensuite calculer les nombres successifs par la relation de récurrence $$B_{n+1}=\sum_{k=0}^n \binom nk B_k.$$ En utilisant les séries génératrices (ou les séries entières), on établit que $$B_n=\frac 1e\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k^n}{k!}.$$