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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Algèbre linéaire > Espaces vectoriels >

Théorème de la base incomplète

Théorème : Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel, $\mathcal L=(x_1,\dots,x_p)$ une famille libre de $E$ et $\mathcal G=(y_1,\dots,y_q)$ une famille génératrice de $E$. Alors on peut compléter $\mathcal L$ avec certains éléments de $\mathcal G$ pour former une base de $E$.

Autrement dit, il existe un entier $r\geq 0$ et des entiers $i_1,\dots,i_r\in\{1,\dots,q\}$ tels que $(x_1,\dots,x_p,y_{i_1},\dots,y_{i_q})$ soit une base de $E$.

Ce théorème est très important. Il sert par exemple à démontrer que si $E$ est un espace vectoriel ayant une famille génératrice finie, il admet une base finie!

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