Base hilbertienne
La notion de base hilbertienne est l'analogue, pour les espaces de Hilbert ou les espaces préhilbertiens, de la notion de base orthonormée pour les espaces euclidiens (donc de dimension finie).
Soit $H$ un espace préhilbertien et $(e_n)$ une suite d'éléments de $H$. On dit que $(e_n)$ est une base hilbertienne de $H$ si
- la suite est orthonormale : pour tout $n\neq m$, on a $\langle e_n,e_m\rangle=0$ et $\|e_n\|=1$;
- la suite est totale : l'espace vectoriel engendré par les $e_n$ est dense dans $H$.
Dans le cas où $H$ est de dimension finie, cette définition coïncide avec celle de base orthonormale. On peut prouver par ailleurs que tout espace préhilbertien séparable possède une base hilbertienne, en s'appuyant sur l'algorithme de Gram-Schmidt.
Si la suite $(e_n)$ est une base hilbertienne de $H$, alors pour tout $x\in H,$ il existe une unique suite $(x_n)$ de nombres réels ou complexes telle que $$x=\sum_{n\geq 0}x_n e_n.$$ De plus, on sait que $x_n=\langle x,e_n\rangle$.
Les calculs dans une base hilbertienne se font comme avec une base orthonormale, par exemple si $$x=\sum_{n\geq 0}x_n e_n\text{ et }y=\sum_{n\geq 0} y_ne_n,$$ alors $$\langle x,y\rangle=\sum_{n\geq 0}x_n y_n$$ si $H$ est un espace préhilbertien réel ou plus généralement $$\langle x,y\rangle=\sum_{n\geq 0}x_n\overline{y_n}$$ si $H$ est un espace préhilbertien complexe.
En particulier, on a $$\|x\|^2=\sum_{n=0}^{+\infty}\langle x,e_n\rangle^2.$$ Cette dernière égalité s'appelle l'égalité de Parseval. Le théorème de Parseval pour les séries de Fourier en est un cas particulier dans l'espace des fonctions de carré intégrale sur $[0,2\pi]$ avec la base hilbertienne $(e^{int})_{n\in\mathbb Z}.$
On peut étendre la définition d'une base hilbertienne à des espaces non séparables. Dans ce cas, une famille $(e_i)_{i\in I}$ est une base hilbertienne de $H$ si elle est orthonormale et si elle est totale au sens suivant : $$\forall x\in H,\ \exists (\lambda_i)_{i\in I}\subset \mathbb K^I,\ \sum_{i\in I}\lambda_i e_i=x.$$