Barrières - pièges - entonnoirs
Soit $y'=f(x,y)$ une équation différentielle, avec $f:U\subset\mathbb R^2\to \mathbb R$, $I$ un intervalle ouvert, et $u:I\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$ tels que $(x,u(x))\in U$ pour tout $x\in I$.
- Si $u'(x)\geq f(x,u(x))$ pour tout $x\in I$, on dit que $u$ est une barrière supérieure pour l'équation différentielle.
- Si $u'(x)\leq f(x,u(x))$ pour tout $x\in I$, on dit que u est une barrière inférieure pour l'équation différentielle.
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En tout point de la courbe $y=u(x)$, la pente du champ est plus petite que celle de la tangente. Si une solution est sous la barrière en $x_0$, elle a tendance à rester dessous pour $x\geq x_0$ car sa dérivée en $x_0$ est inférieure à la tangente en $x_0$. |
En tout point de la courbe $y=u(x)$, la pente du champ est supérieure à celle de la tangente. Si une solution est au-dessus de la barrière en $s_0$, elle a tendance à rester au-dessus pour $x\geq x_0$ car sa dérivée en $x_0$ est supérieure à la tangente en $x_0$. |
- Toute solution qui est sous une barrière supérieure en $x_0$ reste sous cette barrière pour $x>x_0$.
- Toute solution qui est au-dessus d'une barrière inférieure en $x_0$ reste au-dessus de cette barrière pour $x>x_0$.
Une configuration particulièrement intéressante est la suivante :
- $u$ est une barrière inférieure définie sur I.
- $v$ est une barrière supérieure définie sur I.
- $u(x)\leq v(x)$ si $x$ est dans $I$.
Alors, si f est une solution tel que $u(x_0)\leq f(x_0) \leq v(x_0)$, alors pour tout $x\geq x_0$, on a $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$. On dit que la partie $A=\{(x,y)\in I\times\mathbb R: u(x)\leq y\leq v(x)\}$ est un piège ou un entonnoir : toute solution qui y est y reste!
Ex : $y'=y^2(1-2xy)$), $f(x,y)=y^2(1-2xy)$. Alors $v(x)=1/x$ est une barrière supérieure, $u(x)=1/2x$ est une barrière inférieure.
ne autre configuration intéressante est la suivante :
- $u$ est une barrière inférieure définie sur $I$.
- $v$ est une barrière supérieure définie sur $I$.
- $v(x)\leq u(x)$ si $x\in I$.
Dans ce cas, la partie $A=\{(x,y)\in I\times\mathbb R: u(x)\leq y\leq v(x)\}$ est appelé un anti-entonnoir. Une solution a tendance à sortir d'un anti-entonnoir. Toutefois, on démontre le théorème suivant, dit de l'anti-entonnoir : si la borne supérieure de $I$ est $+\infty$, il existe une solution, et une seule, qui reste toujours dans l'anti-entonnoir.