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Théorème de Banach-Alaoglu

Théorème : Soit $E$ un espace vectoriel normé. Alors la boule unité fermée du dual topologique de $E$ est compacte pour la topologie faible-* (aussi nommée topologie préfaible).

Dans un espace de Banach réflexif, en particulier dans un espace de Hilbert, la topologie faible et la topologie faible-* coïncident. En particulier, la boule unité fermée d'un tel espace est compacte pour la topologie faible.

Ce théorème est démontré dans le cas où $E$ est séparable par Stefan Banach en 1932, puis dans le cas général par Leonidas Alaoglu en 1940.
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