Méthode par balayage
Le balayage est une méthode pour trouver une valeur approchée d'une solution d'une équation $f(x)=0$ qui est particulièrement facile à implémenter sur un tableur ou sur une calculatrice. Elle consiste en la démarche suivante. On veut obtenir un encadrement à $10^{-p}$ près d'une solution de l'équation $f(x)=0,$ avec $f$ continue, lorsqu'on dispose de deux entiers $a$ et $b$ tels que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une solution dans l'intervalle $[a,b]$. On effectue alors les opérations suivantes :
- on commence par balayer l'intervalle $[a,b]$ avec un pas de 1, c'est-à-dire qu'on calcule $f(a),$ $f(a+1),$ $f(a+2),\dots$ On s'arrête dès qu'on a trouvé deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ pour lesquels $f(n)$ et $f(n+1)$ sont de signes opposés. On sait alors que $f(x)=0$ admet une solution dans l'intervalle $[n,n+1].$
- on balaie ensuite l'intervalle $[n,n+1]$ avec un pas de $0,\!1.$ On calcule donc $f(n),$ $f(n+0,\!1),$ $f(n+0,\!2),\dots$ et on s'arrête dès qu'on a trouvé $p$ de sorte que $f(n+0,\!p)$ et $f(n+0,\!p+0,\!1)$ sont de signes opposés.
- on continue en balayant l'intervalle $[n+0,\!p;n+0,\!p+0,\!1]$ avec un pas de $0,\!01$
- et ainsi de suite...
Exemple : On souhaite trouver un encadrement à $0,\!001$ près de la racine de l'équation $x^3-6x^2+6=0$ comprise dans l'intervalle $[0,4].$ On note $a$ cette racine. On obtient successivement les 4 tables suivantes :
Un encadrement à $0,\!001$ près de $a$ est donc $1,\!107<a<1,\!108.$