$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthode par balayage

Le balayage est une méthode pour trouver une valeur approchée d'une solution d'une équation $f(x)=0$ qui est particulièrement facile à implémenter sur un tableur ou sur une calculatrice. Elle consiste en la démarche suivante. On veut obtenir un encadrement à $10^{-p}$ près d'une solution de l'équation $f(x)=0,$ avec $f$ continue, lorsqu'on dispose de deux entiers $a$ et $b$ tels que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une solution dans l'intervalle $[a,b]$. On effectue alors les opérations suivantes :

  • on commence par balayer l'intervalle $[a,b]$ avec un pas de 1, c'est-à-dire qu'on calcule $f(a),$ $f(a+1),$ $f(a+2),\dots$ On s'arrête dès qu'on a trouvé deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ pour lesquels $f(n)$ et $f(n+1)$ sont de signes opposés. On sait alors que $f(x)=0$ admet une solution dans l'intervalle $[n,n+1].$
  • on balaie ensuite l'intervalle $[n,n+1]$ avec un pas de $0,\!1.$ On calcule donc $f(n),$ $f(n+0,\!1),$ $f(n+0,\!2),\dots$ et on s'arrête dès qu'on a trouvé $p$ de sorte que $f(n+0,\!p)$ et $f(n+0,\!p+0,\!1)$ sont de signes opposés.
  • on continue en balayant l'intervalle $[n+0,\!p;n+0,\!p+0,\!1]$ avec un pas de $0,\!01$
  • et ainsi de suite...

Exemple : On souhaite trouver un encadrement à $0,\!001$ près de la racine de l'équation $x^3-6x^2+6=0$ comprise dans l'intervalle $[0,4].$ On note $a$ cette racine. On obtient successivement les 4 tables suivantes :

Un encadrement à $0,\!001$ près de $a$ est donc $1,\!107<a<1,\!108.$

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