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Bibm@th

Auto-similaire

Soit $K$ un compact de $\mathbb R^n$. On dit que $K$ est auto-similaire s'il existe des similitudes $s_1,\dots,s_N$ de $\mathbb R^n$, avec $N>1,$ de rapport $r_1,\dots,r_N$ inférieur strict à 1, tels que $$K=s_1(K)\cup s_2(K)\cup\cdots \cup s_N(K).$$ De façon imagée, les objets auto-similaires sont ceux qui, observés à la loupe, présentent toujours le même aspect.

Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $s>0$ tel que $$r_1^s+\cdots+r_N^s=1.$$ Ce réel $s$ s'appelle dimension d'auto-similarité de $K$.

Ex : dimension d'auto-similarité de la courbe de Von Koch.

On peut, à partir de 4 similitudes, retrouver la courbe de Koch. Ces similitudes ont pour centre les points en vert sur la figure, et pour rapport 1/3. La dimension d'auto-similarité est donc le réel $s$ tel que $$4\times\left(\frac 13\right)^s =1\implies s=\frac{\ln 4}{\ln 3}\simeq 1,\!26.$$

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