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Dictionnaire de mathématiques > Arithmétique > Divisibilité et congruence >

Arithmétique modulaire - congruences

Il est commode en arithmétique de considérer les entiers modulo $m$. Deux entiers $a$ et $b$ sont dits congrus modulo $m$ lorsque $a-b$ est un multiple de $m$. On note $a=b\ \textrm{mod}\ m$, ou $a=b\ [m]$.

Les calculs usuels (addition, multiplication, puissance) peuvent être réalisés modulo $m$, exactement comme avec les entiers. Il suffit ensuite de réduire le résultat modulo $m$. On peut aussi remplacer tous les résultats intermédiaires par leur reste modulo $m$. Pour exemple, pour calculer $14\times(7+2)^{15}$ modulo $8$ on remarque que $$7+2=9=1\ [8].$$ On en déduit $$(7+2)^{15}=1^{15}=1\ [8],$$ et finalement $$14\times (7+2)^{15}=14=6\ [8].$$

L'utilisation des congruences est d'emploi plus courant qu'il n'y parait : s'il est 11H, dans 2H, il est 1H, car $11+2=13=1\ [12]$...

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