Suites arithmético-géométriques

Soit $(a,b)\in\mathbb R^2$ avec $a\neq 0$. On appelle suite arithmético-géométrique une suite donnée par une relation de récurrence du type $u_{n+1}=au_n+b.$ Ces suites généralisent le cas des suites géométriques ($b=0$) et des suites arithmétiques ($a=1$). Leur étude se ramène toujours aux deux cas précédents. Si $a=1$, on a donc une suite arithmétique que l'on sait étudier. Si $a\neq 1$, l'équation dite aux limites possibles $\ell=a\ell+b$ possède une unique solution qui est $\ell=\frac{b}{1-a}.$ On pose alors $v_n=u_n-\ell$ et on prouve facilement que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $a$. Ainsi, pour tout entier $n$, on a $v_n=a^n v_0$ ce qui donne $$u_n=a^n(u_0-\ell)+\ell.$$ Le comportement asymptotique de la suite $(u_n)$ dépend donc de la valeur de $a$ :

Sur l'activité Geogebra suivante, vous pouvez visualiser le comportement d'une suite géométrique en fonction de son premier terme et de sa raison.