Arc capable
Théorème et définition :
Soient $A$ et $B$ deux points du plan et $a$ un réel donné. L'ensemble des points $M$ du plan différents de $A$ et $B$ tels que
$$\widehat{(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})}\equiv a\ [\pi]$$
est :
Lorsque l'on regarde la congruence modulo $2\pi,$ i.e. si l'on cherche les points $M$ du plan tels que
$$\widehat{(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})}\equiv a\ [2\pi]$$
alors on trouve un arc de cercle passant par $A$ et $B$ dans le cas $a\not\equiv 0\ [\pi].$
Cet arc est appelé arc capable.
- la droite $(AB)$ privée des points $A$ et $B$ si $a\equiv 0\ [\pi]$
- un cercle passant par $A$ et $B$ et privé des points $A$ et $B$ sinon.
Bien avant les GPS, l'arc capable était utilisé par les marins pour se positionner.
Ils prenaient en effet deux points à l'horizon (un phare, etc...) et mesuraient l'angle entre ces deux points.
En traçant sur la carte l'arc capable correspondant à ces deux points et à l'angle mesuré, ils trouvaient un arc de cercle
sur lequel leur bateau se situait. En recommençant la même opération avec deux autres points, ils obtenaient un
second arc de cercle. Le navire était exactement à l'intersection des deux arcs!
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