Nombres bien approchables
Un réel $x\in[0,1]$ est appellé nombre bien approchable s'il existe une suite de rationnels $(p_n/q_n)$ est une constante $C>0$ telle que la suite $(q_n)$ tend vers $+\infty$ et, pour tout entier $n$, $$\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right|\leq \frac C{q_n^2}.$$
Un réel $x\in[0,1]$ est appellé nombre très bien approchable s'il existe une suite de rationnels $(p_n/q_n)$ est une constante $C>0$ telle que la suite $(q_n)$ tend vers $+\infty$ et, pour tout entier $n$, $$\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right|\leq \frac C{q_n^2\ln^2(q_n)}.$$
Ces deux définitions peuvent sembler très similaires. Elles indiquent toutes deux que le réel $x$ peut être (très) bien approché par des rationnels de dénominateur fixé. Pourtant, elles déterminent des nombres très différents. En effet, on peut prouver que
- Tout nombre réel de $[0,1]$ est bien approchable (c'est une conséquence du lemme des tiroirs).
- L'ensemble des réels de $[0,1]$ qui sont très bien approchables est de mesure de Lebesgue nulle (c'est une conséquence du lemme de Borel-Cantelli).