$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Applications linéaires

Nous considérons $E$ et $F$ deux espaces vectoriels. Une application linéaire $u$ de $E$ dans $F$ est une fonction de $E$ dans $F$ qui vérifie :

  1. Pour tous $x$ et $y$ de $E$, $u(x+y)=u(x)+u(y)$.
  2. Pour tout $x$ de $E$, et tout réel (complexe) $a$, $u(ax)=au(x)$.

Les applications linéaires sont les "bonnes applications" d'un espace vectoriel dans un autre, car ce sont celles qui conservent la structure d'espace vectoriel. Ainsi, si on définit

  • le noyau de $u$ par $\ker(u)=\{x\in E:\ u(x)=0\}$
  • l'image de $u$ par $\textrm{Im}(u)=u(E)=\{y\in F:\ \exists x\in E,\ y=u(x)\}$

alors le noyau est un sous-espace vectoriel de $E,$ et l'image est un sous-espace vectoriel de $F.$

On appelle forme linéaire sur $E$ toute application linéaire de $E$ dans $\mathbb R$ (ou dans $\mathbb C$ si $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb C$). Les noyaux des formes linéaires non nulles sont des sous-espaces vectoriels particuliers car maximaux : on les appelle hyperplans.

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