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Le paradoxe des anniversaires



  Dans une classe, quelle est la probabilité pour que 2 élèves fêtent leurs anniversaires le même jour? Avec 365 jours par an, une trentaine d'élèves dans la classe, on se dit qu'elle doit être faible...

  Détrompez-vous! On va calculer la probabilité pour que, dans un groupe de k personnes, ces personnes aient toutes un jour d'anniversaire différent.
  • Qd on a 2 personnes, la première peut avoir son anniversaire n'importe quand, la seconde n'importe quel autre jour. On a donc :
  • Quand on a 3 personnes, la troisième doit avoir son anniversaire un jour différent des 2 autres :
  • On peut réitérer le raisonnement. Pour un groupe de k personnes, on obtient :
    Une petite application numérique donne :

    Nombre de personnes Probabilité pour que les anniversaires tombent tous un jour différent
    11
    20.99
    5 0.97
    10 0.88
    20 0.58
    22 0.52
    23 0.49
    30 0.29
    50 0.03
    Il ne faut donc que 23 personnes pour qu'il y ait plus d'une chance sur 2 pour que 2 personnes aient leur anniversaire le même jour, contrairement à ce que l'intuition laisse présumer. A partir de 50 personnes, il n'y a que 3% de chances que tous les anniversaires diffèrent!

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