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Élément algébrique, transcendant

On dit qu'un nombre complexe $a$ est algébrique s'il est racine d'un polynôme non nul à coefficients dans $\mathbb Q$. Dans le cas contraire, il est dit transcendant.

Exemple :

  • $\sqrt 2$ est algébrique : il est racine de $X^2-2$.
  • $\pi$, $e$ sont des nombres transcendants; la transcendance du premier est due à Lindemann, celle du second à Hermite.

Plus généralement, si $\mathbb K$ est un corps, si $u$ est élément d'une extension de $\mathbb K$, on dit que $u$ est algébrique sur $\mathbb K$ si $u$ est racine d'un polynôme non nul à coefficients dans $\mathbb K$. Dans le cas contraire, $u$ est dit transcendant.

Historiquement, la première preuve d'existence de nombres transcendants date de 1844 : il s'agit des nombres de Liouville, qui ont été construits spécialement pour cela. En revanche, il est plus difficile de déterminer si un nombre donné est transcendant. Les preuves de la transcendance de $e$ (par Hermite en 1872) et de $\pi$ (par Lindemann en 1882) sont assez délicates. Et on ne sait toujours pas si $e+\pi$) et $2^e$ par exemple sont transcendants!

Cantor a aussi démontré à la fin du siècle l'existence d'un très grand nombre d'éléments transcendants : sa preuve utilisait sa toute nouvelle théorie des ensembles infinis, qui était regardée avec méfiance par ses contemporains (Cantor prouve en fait que l'ensemble des éléments algébriques est dénombrable, et comme l'ensemble des réels ne l'est pas, l'ensemble des éléments transcendants est infini non dénombrable).

Signalons deux des résultats les plus importants de la théorie des nombres transcendants :

Théorème d'Hermite-Lindemann : si $a$ est un nombre algébrique non nul, alors $e^a$ est un nombre transcendant.

Ce résultat, prouvé par Lindemann en 1882, généralise la transcendance de $e$ (prendre $a=1$) mais prouve aussi que $\pi$ est transcendant : s'il était algébrique, alors $e^{i\pi}=-1$ serait transcendant, ce qui n'est pas le cas!

Théorème (Gelfond-Schneider 1934) : si $a$ et $b$ sont deux nombres algébriques, avec $a$ différent de $0$ et $1$, et $b$ irrationnel, alors $a^b$ est transcendant.
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