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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Algèbre linéaire > Espaces vectoriels >

Algèbre

L'algèbre désigne généralement la partie des mathématiques qui s'intéressent à l'étude de certains ensembles sur lesquels on a mis une certaine structure, dite structure algébrique. Ainsi, au collège, on peut dire que tout le calcul avec parenthèses, les identités remarquables, etc..., sont de l'algèbre puisqu'ils s'intéressent à un ensemble (généralement, celui des entiers, ou des réels) muni des opérations d'addition, de multiplication habituelles, et que l'on regarde simplement les propriétés de ces opérations... L'algèbre linéaire est l'étude de certains ensembles muni d'une structure très particulière : les espaces vectoriels.

Une algèbre désigne aussi un objet précis en mathématiques. Soit $\mathbb K$ un corps. On dit d'un ensemble $E$ qu'il est une algèbre sur le corps $\mathbb K$ (on dit aussi que $E$ est une $\mathbb K$-algèbre) s'il est muni de trois lois de composition : deux lois de composition interne (l'une notée $+,$ l'autre notée $×$) et une loi de composition externe (notée $\cdot$) satisfaisant aux conditions suivantes :

  1. $E$ muni de la loi $+$ et de la loi $\cdot$ est un espace vectoriel sur $\mathbb K$.
  2. L'application $E\times E\to E$, $(x,y)\mapsto x\times y$ est bilinéaire.

Si on ajoute des contraintes supplémentaires sur la loi $\times,$ alors on obtient des algèbres particulières :

  • si la loi $×$ est associative (autrement dit, si $E$ est muni de $+$ et $×$ est un anneau), l'algèbre est dite associative;
  • si la loi $×$ est commutative, l'algèbre est dite commutative;
  • si la loi $×$ possède un élément neutre, l'algèbre est dite unifère, ou unitale;
  • si la loi $×$ est alternative, c'est-à-dire si pour tous $x,y$ de $E$, on a $$x\times(x\times y)=(x\times x)\times y\textrm{ et }x\times(y\times y)=(x\times y)\times y,$$ l'algèbre est dite alternative.
Le mot algèbre vient de l'arabe al jabr, littéralement la remise en place, terme utilisé pour la première fois dans un sens mathématique par al Khwarizmi vers 800 après JC. L'al jabr désigne pour lui le fait de transformer une soustraction d'un membre d'une égalité en une addition dans un autre membre, par exemple le passage de $x-3=x^2$ à $x=x^2+3.$ Le livre d'Al Khwarizmi, Kitab al jabr w'al muqabalah, où il traite de façon systématique les équations du second degré, voit sans doute l'introduction réelle de l'algèbre moderne.
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