Endomorphisme adjoint
Théorème et définition :
Soit $E$ un espace euclidien ou hermitien, et $u$ un endomorphisme de $E$. Il existe
un unique endomorphisme $u^*$ de $E$, appelé adjoint de $u$, tel que
$$\forall x,y\in E,\ \langle u(x),y\rangle=\langle x,u^*(y)\rangle.$$
Le théorème reste vrai si $E$ est un espace de Hilbert et si $u$ est un endomorphisme continu de $E$.
L'adjoint possède les propriétés suivantes :
- Pour tous $u,v\in\mathcal L(E)$, on a $$(u^*)^*=u\textrm{ et }(uv)^*=v^*u^*.$$
- Si $A$ est la matrice de $u$ dans une base orthonormale de $E$, alors $A^T$ (cas réel) ou $A^*$ (cas complexe) est la matrice de l'adjoint $u^*$ dans cette même base. En particulier, le déterminant de $u^*$ (resp. son polynôme caractéristique, resp. son spectre, resp. son polynôme minimal) est le conjugué de celui de $u$.
- On a $\ker(u^*)=(\textrm{Im}(u))^\perp$.
- Si $F$ est un sous-espace de $E$ stable par $u,$ alors $F^\perp$ est stable par $u^*.$
- Pour la norme subordonnée à la norme euclidienne sur $E$, on a $\|u^*\|=\|u\|$.
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