Accélération de convergence
Soit une suite $(u_n)$ dont on a réussi à prouver la convergence vers une limite $\ell$. Bien souvent, il est important d'avoir une valeur approchée de cette limite $\ell$. On peut bien sûr l'obtenir avec la suite $(u_n)$, mais on va chercher à calculer le moins de termes possibles pour une approximation donnée afin :
- d'éviter les erreurs d'arrondi de la calculatrice/ou de l'ordinateur.
- d'avoir à effectuer moins de calculs.
Le procédé qui consiste à remplacer une suite $(u_n)$ qui converge vers $\ell$ par une autre suite $(v_n)$ qui converge toujours vers $\ell$, mais plus rapidement, s'appelle accélération de convergence. Nous allons présenter deux méthodes classiques d'accélération de convergence.
On suppose que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ avec le développement limité suivant : $$u_n=\ell -ak^n +O(r^n)$$ avec $0<|r|<|k|$. L'idée est de poser $v_n=u_n+ak^n$ qui converge plus vite vers $\ell$.
Le problème est que souvent, la constante $a$ n'est pas connue (ou au moins on n'en connait pas de valeur exacte, juste une valeur approchée). L'idée de la méthode de Richardson est d'éliminer le $a$ non connu par une combinaison linéaire de $u_n$ et $u_{n+1}$. Concrètement, on pose $$v_n=\frac{u_{n+1}-ku_n}{1-k}.$$
Cette méthode s'applique notamment à la méthode des trapèzes pour calculer la valeur approchée d'une intégrale. Elle prend alors le nom de Romberg-Richardson, et est effectivement employée dans les logiciels comme Maple ou les calculatrices.
On suppose toujours que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ avec le développement limité suivant : $$u_n=\ell -ak^n +O(r^n)$$ avec $0<|r|<|k|$, mais maintenant nous supposons que l'on ne connait pas la valeur exacte ni de $a$ ni de $k$. On pose alors $$v_n=\frac{u_n^2-u_{n+1}u_{n-1}}{2u_n-u_{n+1}-u_{n-1}}.$$